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Escuela jónica
La escuela jónica, con Tales de Mileto (cuyo nombre lleva un importante teorema de geometría elemental, el Teorema de Tales), fue la primera en comenzar la deducción matemática, hacia el año 600 a. C.Escuela pitagórica
La escuela pitagórica o itálica, fundada por Pitágoras hacia la mitad del siglo VI a. C., fue una asociación de iniciados. Su instituto central de Crotona, en el golfo de Tarento, fue destruido a principios del siglo V a. C. por razones político-religiosas. Sin embargo, la asociación sobrevivió durante mucho tiempo, primero en Grecia y luego en Alejandría. En un siglo y medio los pitagóricos elaboraron un primer grupo de cuatro disciplinas matemáticas (el quadrivium de Arquitas de Tarento): la aritmética, la música (o aritmética de los intervalos musicales), la geometría plana y la astronomía o geometría esférica.La escuela pitagórica cultivaba una doctrina del conocimiento fundada sobre una determinada concepción del número, a la vez número entero y factor de estructura. Según algunos pitagóricos, todo ente tenía su número, sin el conocimiento del cual el ente no podía ser conocido ni mucho menos comprendido. Según esta doctrina, todas las razones de magnitudes debían ser razones de números enteros.
Escuela de Elea
Estos puntos de vista fueron combatidos por la escuela de Elea, y su crítica tomó la forma de las célebres paradojas de Parménides y de Zenón. El descubrimiento de las relaciones inconmensurables, tales como la diagonal del cuadrado, tomando como unidad el lado, y la de la sección aúrea, fue para los pitagóricos un golpe decisivo.Las dificultades ligadas a la existencia de los inconmensurables fueron superadas por la teoría de las proporciones de Eudoxo, que fue un modelo de rigor matemático. Sobrepasada de este modo la doctrina de los pitagóricos y su mística de los números, se abrió paso la concepción platónica de las matemáticas y la doctrina de las ideas.
A principios del siglo III a. C. aparecieron en Alejandría los Elementos de Euclides. Fundada en el año 331 a. C., Alejandría se convirtió rápidamente en el centro de la cultura helénica. Allí se acogieron casi la totalidad de los que tuvieron nombre y lugar en las ciencias matemáticas griegas, desde Euclides a Diofanto, Papo y Proclo. La importancia de los Elementos fue enorme. Durante mucho tiempo fijaron el ideal del conocimiento verdadero y le dieron su estructura por medio del método axiomático. El método euclidiano comprende, en primer lugar, una teoría general de las magnitudes fundada sobre axiomas como, por ejemplo:
La geometría euclidiana
La construcción de la geometría requirió, en segundo lugar, cierto número de postulados, el más célebre de los cuales es el de las paralelas, llamado todavía postulado de Euclides. Los Elementos, al demostrar que, sobre la base de axiomas y de postulados, puede construirse la geometría de un modo puramente deductivo, es decir, como conjunto de definiciones y de demostraciones que se desprenden las unas de las otras, precisaron y establecieron el método a seguir.Durante ese mismo siglo III, la investigación geométrica de los griegos alcanzó su más alto grado de esplendor con Apolonio y Arquímedes de Siracusa. Se debe a Apolonio un gran tratado sobre las incógnitas e incluso, al parecer, un estudio de las epicicloides. Pero, sin ningún género de dudas, el mayor matemático de la antigüedad fue Arquímedes: el cálculo de π por aproximaciones sucesivas, la determinación de los volúmenes del cilindro y la esfera, la cuadratura del segmento de parábola, el empleo de los momentos estáticos y de los centros de gravedad abrieron, de hecho, el camino a la mecánica y al cálculo integral.
El método de Arquímedes
El método de Arquímedes se separa de la doctrina platónica. Al afán de la aplicación precisa añadió la investigación con extremo rigor científico. Estas dos inquietudes se encuentran, por una parte, por ejemplo, en la formulación del principio de la hidrostática, llamado todavía principio de Arquímedes, y por otra parte en la aplicación del método de agotamiento de Eudoxo al cálculo de áreas y volúmenes.El ideal platónico era un ideal de contemplación de la verdad racional, prescindiendo de las aplicaciones técnicas. La ciencia de Arquímedes, en cambio, dio comienzo al tipo de conocimiento propio de la ciencia moderna. Esta misma casualidad de encuentra también en la ciencia alejandrina, con la cual Arquímedes tuvo ciertos contactos. Así, aparecen durante el siglo II a. C. la trigonometría plana esférica de Hiparco de Nicea, el astrónomo, y, durante el siglo I, las investigaciones geométricas de Herón, el físico.
Deben citarse, finalmente, para marcar la continuidad del esfuerzo alejandrino, a Nicómaco y Menelao, en el siglo I; a Ptolomeo y su célebre sistema del mundo, en el siglo II; las investigaciones aritméticas de Diofanto y Papo sobre las razones anarmónicas, en el siglo III, y los Comentarios de Proclo sobre el libro primero de Euclides, en el siglo V.
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